CFA一级里面在债券的估值一章中讲述了Flat Price(净价),Accured Interest(应计利息),以及Full Price(全价)这几个概念。本文以图文并茂的形式解释了这几个相关概念。

复习:债券的一些基础知识

通俗点来说,债券就是你现在花钱买了一个契约。对方承诺在未来某一段时间内,每过一段时间,给你一定的金额作为利息。到了债券到期的时候,把本金+最后一期利息全部还给你。
比如说,现在有一张债券,价格是98元。面值是100元。一年后到期。每三个月给你1块钱利息。那么你的现金流就是:

  • 现在:支付98元。
  • 3个月后:得到1元。
  • 6个月后:又得到1元。
  • 9个月后:叒得到1元。
  • 12个月后:债券到期。你叕得到1元,并且还得到100元。

一个债券一般来说有以下组成部分:

  • 面值(Face Value):债券的票面价值,债券到期后应偿还的本金数额。就是上面例子中的100元。
  • 票面利率(Coupon Rate):面值 * 票面利率 = 你每年收到的利息。上面例子中,票面利率是4%(因为你一年收了4次1元)
  • 到期时间(Maturity):什么时候债券到期。
  • 付息时间:每年什么时候付利息,一年付到多少次。

全价(Full Price)是什么意思

全价就是你要买入一个债券,所要支付的价格。
在现实生活中,债券每天的买入价格都是不一样的,为什么呢?考虑以下例子:

一个债券在2017年6月15日付1元利息,在2017年12月15日债券到期,付1元利息+100元本金。
债券付利息的时候,只看你是否拥有该债券,而不看你持有了债券多久。也就是说,假设说一个人在2017年6月16日买入债券,另外一个人在2017年12月14日买入债券,这两个人到了2017年12月15日,都会收到1元利息+100元本金。如果债券买入的价格一样,那这样显然所有人都会在2017年12月14日买债券了。因为越晚付钱越好。

所以,每天的债券买入价格都不一样。这个价格是多少呢?我们是可以算出来的。我们学过,任何证券的价值应该是其将来所有现金流的贴现。这个价格的公式就如下所示:

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其中:

  • PVfull: 全价
  • PMT:payment的意思,就是每期支付的利息
  • FV:面值
  • r:贴现率,在债券这里又称为债券收益率(yield to maturity)。
  • t/T: 当前的日期距离上一次付息的日期占付息间隔时间的百分比。

其中,t/T要举个例子。比如债券上一次付息在2017年6月15日,今天是2017年6月17日,下一次付息在2017年12月15日。那么t=2,因为今天距离上一次付息是2天。T=183,因为6月15日距离12月15日是183天。那么t/T = 2/183 = 0.01。

这个式子,把分母中共同的部分提取出来,就变成了以下式子:

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这个PV就是我们用金融计算器直接算出来的PV,也是t=0时候的PV。因为我们平时算PV的时候,都是在t=0的时间点去算的。

具体来算一下全价(Full Price)

我们为了简单起见,会选一个非常基础的债券作为例子。考虑以下债券:

2017年1月1日发行,面值100元,票面利率6%,利息年付。2027年到期。债券收益率为6%。

我们学过,当票面利率和收益率一样的时候,PV一定是等于面值的。我们现在来用金融计算器具体算一下。

  • N = 10
  • I/Y = 6
  • PMT = 6
  • FV = 100

计算得PV = -100

好,上面只是验算和确认。下面问题来了。
请问,该债券在2017年1月1日的全价该是多少,在2017年12月1日的全价呢?在2018年1月1日的全价呢?

注:因为简单起见,我们这里的天数采用30/360的方式来计算,即一个月30天,一年360天。

1. 2017年1月1日的全价

t=0,所以PVfull = PV。所以2017年1月1日的全价就是100元。换句话说,你在2017年1月1日买入债券的话,应该花100元。

2. 2017年12月1日的全价

t = 330,T = 360。 带入公式2,PVfull = 105.49元。换句话说,你在2017年12月1日买入债券的话,应该花105.49元。债券变贵了,因为你只需要一天就能等到利息了。

可以看到,随着时间越接近付息日期,债券的价格就会越贵。

3. 2018年1月1日的全价

这里因为已经付过一次利息,我们要计算新的PV了。

  • N = 9
  • I/Y = 6
  • PMT = 6
  • FV = 100

PV = -100。(我们看到,虽然N变小了。但是PV还是不变。这主要是因为这个例子里面票面利率和收益率一样。如果不一样的话,这里的PV会变的。)

老样子,t=0,所以PVfull = PV。(为什么t还是等于0?因为t是距离上一次付息的天数。)
所以可以看到,债券的价格又回到了100元。

我们现在把债券的价格从2017年1月1日到2027年1月1日这十年间的价格用图表的形式画出来,如下图所示:

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如果你是个投资者,想去买债券,在网上看到这样的债券价格图,我相信你的反应一定是这样的:

timg

为了把利息的因素从债券的价格中剥离,所以从业人员把全价拆分成了两部分:净价(Flat Price)和应计利息(Accrued Interest)。这就是我们在CFA书上所看到的公式来源:

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其中AI就是应计利息。

AI(Accrued Interest)的计算

那AI是如何计算的呢?这个公式就相对简单了:

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这个公式你可以这么理解:AI等于你购买债券的那个时刻,已经流失了百分之多少的利息。这部分作为你晚买债券的代价,要加在债券价格上。

然后,以后大家对债券报价的时候,报出来的价格都是净价(全价减去AI)。这句话又是什么意思呢,这句话的意思是说,当你在网上看到债券的报价的时候,这个价格并不是你要买入该债券所支付的钱。你要买入该债券的话,必须还得加上AI,这个价格(全价)才是你真正买入该债券所需要支付的钱。

我们继续使用上面的例子,计算净价并画图画出来。

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该债券的净价稳定在100元。我们成功把利息带来的因素给去掉了。

小练习

我们上面的例子是票面利率和到期收益率相等。那在保持票面利率为6%不变的情况下,当到期收益率变为4%的时候,净价的曲线会是如何呢?如果到期收益率变为8%,净价又会如何变动呢?读者可以自己尝试画一下。画出来之后,你就能体会到什么是constant-yield price trajectory了。

想自己练习的读者,答案可以参照上文所画图的excel源文件

不想自己练习的读者,剧透在👇:




















到期收益率 = 4%时

全价(PVfull):
pvfull4.jpg

净价(PVflat):
pvflat4.jpg

到期收益率 = 8%时

全价(PVfull):
pvfull8.jpg

净价(PVflat):
pvflat8.jpg